Для вступників

Ставайте Ковалевськими і Остроградськими!

Для учнів, які хочуть вступити до ЗЗМШ

 

Шановні друзі, учні 5 – 10 класів!

 

Запрошуємо вас на навчання в Західноукраїнській заочній математичній школі (ЗЗМШ). Запевняємо, що в цьому виборі ви не розчаруєтеся!

Розпочинати навчання в ЗЗМШ можна з будь-якого класу із 6 по 11 і продовжувати до закінчення основної школи — неперервно або вибірково в окремих класах. Навчання в ЗЗМШ здійснюється за помірну плату, яка вноситься лише після одержання повідомлення про зарахування.

Зарахування до ЗЗМШ відбувається на основі письмової рекомендації вашого вчителя математики або за результатами виконання вступної контрольної роботи, умови якої подаються нижче. При цьому для того, аби бути зарахованим, зовсім не обов’язково розв’язати всі запропоновані задачі. Достатньо розв'язати хоча б декілька з них. Розв’язувати вступне завдання потрібно за той клас, в якому зараз навчаєшся.

Учитель математики може написати рекомендацію своєму учневі в довільній формі, або скористатися такою стандартизованою формою:


повідомити нам, коли і в якій олімпіаді він брав участь.

Кожен претендент на навчання в ЗЗМШ повідомляє нам своє прізвище, ім’я і по батькові (повністю), клас основної школи, який закінчує цього навчального року, а також  повну домашню адресу. Для одержання відповіді потрібно вкласти звичайний поштовий конверти з маркою, підписаний на домашню адресу.

Усі матеріали для ЗЗМШ надсилайте за адресою: 46027,  м. Тернопіль, вул. М. Кривоноса, 2, педуніверситет, ЗЗМШ, або: 46018, м. Тернопіль, а/с 467, ЗЗМШ.

У разі потреби електронні листи пишіть на адресу: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

Стати видатними ученими кожному з геніальних математиків ХІХ ст. — Михайлу Остроградському і Софії Ковалевській — допомогли щасливі випадки. Остроградському, який спочатку навчався в гімназії дуже посередньо і з великою неохотою, трапився талановитий учитель, який розкрив перед ним красу й велич математики, а Ковалевську змалечку зачарував своїми дивовижними значками курс лекцій з математичного аналізу самого Остроградського, аркушами з якого замість шпалер була оздоблена її дитяча кімната. Сподіваємося, юні друзі, що для вас таким щасливим випадком стане навчання в ЗЗМШ. І пам’ятайте, що для цього зовсім неважливо, де ви народилися чи мешкаєте — на хуторі, як Остроградський, чи в столиці, як Ковалевська!

 

Завдання вступної контрольної роботи в ЗЗМШ

 

5 клас

  1. У відомому мультфільмі «38 папуг» мавпа міряла удава папугами: вийшло 38 папуг. Потім вона зміряла удава собою: вийшло 5 мавп. Який тоді зріст мавпи в папугах?
  2. У  стовбурі  високого-височенного,  товстого-товстелезного дуба на висоті 49 м від землі Вінні-Пух примітив бджолине дупло. За 1 хв він може видряпатися по стовбуру на висоту аж 2,5 м. Але потім змушений 1 хв  відсапуватися і через те сповзає вниз на 1 м. Скільки часу потрібно Вінні-Пуху, аби перевірити, чи «правильні» бджоли живуть у цьому дуплі?
  3. Цап Розсудливий запросив барана Розумного на капусту, що росла в городі тітки Насті. Через 0,5 години ласування баран Розумний раптом побачив нові ворота і став як укопаний. Це тривало 3,5 години — аж поки цап Розсудливий не доїв останньої капустини. Всього в городі тітки Насті росло 34 капустини. То скільки з них з’їв цап, а скільки баран, якщо цап поїдає капусту вдвічі швидше, ніж баран?
  4. Довжини сторін прямокутника — натуральні числа. Якими повинні бути ці числа, аби периметр прямокутника чисельно дорівнював його площі? Чи зможете ви вказати всі такі значення?

 

 

6 клас 

  1. Малюк може з’їсти ложкою невелику банку варення за 6 хв, а Карлсон (теж ложкою, бо без ложки він з’їдає його миттєво) — удвічі швидше. За який час Малюк і Карлсон з’їдять це варення разом, якщо перекинуть його в миску й обоє їстимуть ложками?
  2. Табун сороканіжок і триголових драконів летів на регіональний зліт з проблем повітроплавання в умовах мирного співіснування різних систем руху і джерел енергії. Разом у них було 26 голів і 298 ніг. Скільки було драконів, якщо всі вони пройшли суворий відбір і тому мали однакову кількість ніг?
  3. Василько лічить на пальцях. Він починає з великого пальця і «рухається» до мізинця. Потім повертається назад — від мізинця до великого пальця. Потім — знову до мізинця, знову до великого пальця, і так далі. При цьому і мізинець, і великий палець при кожній зміні напрямку руху враховуються лише по 1 разу (наприклад, після того, як на мізинець припало число 5, наступне число 6 зіставляється з безіменним пальцем). На який палець припаде число 2013 і скільки часу Василько лічитиме до нього, якщо кожне число він називатиме за 1 секунду, а на кожну зміну напрямку «руху» додатково витрачатиме по 0,5 секунди?        
  4. О 12 годині дня положення годинної та хвилинної стрілок на циферблаті годинника збігаються. Вважаючи рух стрілок рівномірним, з’ясуйте, через який найменший проміжок часу стрілки знову збігатимуться.

 

 

7 клас

  1. Рада засновників крамниці «Одарка і К0» вирішила знизити ціни на основний асортимент своїх товарів на 10% і таким чином «переорієнтувати» частину покупців, котрі ходять до крамниці «Пріська лтд», а особливо тих, що мешкають на пограничних територіях «Бондарі» і «Ковалі». Але після цього, у зв’язку з подорожчанням енергоресурсів, аби не «вилетіти в трубу», довелося все таки знову підняти ціни на 5%. Чи може «Одарка і К0» все ще розраховувати на позитивні зрушення в свідомості своїх потенційних клієнтів, якщо й «Пріська лтд» теж знизила ціни на 5% і досі їх не піднімала? Не поспішай з відповіддю! Вона не така очевидна, як може здатися на перший погляд.
  2. Зі стайні до пересувного цирку, розташованого на відстані 0,5 км, вивели Слона. Це одразу помітила Моська, яка вертілася біля цирку, — і побігла йому назустріч. Підбігши до самого слонячого хобота, Моська грізно дзявкнула і побігла назад. Але, повернувшись до цирку, подумала: «Мало, він і далі йде!», та й побігла знову назустріч Слону. Здійснивши той самий героїчний вчинок, Моська знову повернулася до цирку. Та оскільки Слон йшов і йшов, то вона вважала своїм неодмінним обов’язком так і бігати туди-сюди, аж поки за Слоном не зачинилися двері цирку. Яку сумарну відстань «накрутила» Моська, якщо вона бігала у 10 разів швидше, ніж плентався Слон?
  3. Перевірте на декількох прикладах, що при різних числових значеннях змінних x, у значення виразу 5х2 + 6ху +5у2 завжди невід’ємні. Чи зможете ви довести, що ця властивість виконується для всіх можливих значень x, у?
  4. (Задача з підручника італійського математика XVI ст. Нікколо Тартальї). Двоє роздобули 8 унцій бальзаму в одній посудині, заповненій вщерть (унція — міра рідин, що дорівнювала приблизно 0,3 л). Та оскільки під руками не було міри на 4 унції, то вони купили ще дві посудини — на 3 і 5 унцій — і за допомогою декількох переливань з однієї посудини в іншу точно поділили бальзам між собою. Як вони це зробили?

 

8 клас 

  1. Дядько Петро і дядько Василь — куми. Вони живуть в одному селі недалеко один від одного. У хаті дядька Петра є три годинники, але один з них збився, бо вночі вимикали світло, у другому давно потрібно поміняти батарейку, а в третьому він зранку забув підтягнути гирю. Отже, жоден з годинників не йшов.
    «Піду до кума, віднесу йому полагоджені граблі, а заодно подивлюся, котра година, а коли повернуся, то наведу оцей перевірений часом механізм», — вирішив дядько Петро, подивившись на годинник з гирею.
    Погомонівши з кумом про те про се, дядько Петро ще завидна вернувся додому й одразу точно навів свій годинник з гирею. Як він це зробив?
    Невеличка підказка. Дядько Петро дуже розумний; перед виходом з хати він завів свій годинник з гирею і зауважив, що показували його стрілки.
  2. Якось барон Мюнхгаузен уподобав для полювання джунглі екваторіальної Африки. Особливо втішала його прогулянка з рушницею стежиною завдовжки 9 миль, над якою часто пролітали зграї диких качок і тому можна було одним пострілом нанизати їх на шомпол цілу дюжину. Вся прогулянка цією стежиною в обидва боки тривала рівно 2 години, ні хвилиною більше, ні хвилиною менше. Аж ось одного разу, тільки-но зібравшись вертатися назад, барон Мюнхгаузен випадково, не навмисно, наступив на ногу горилі. Унаслідок цього його швидкість миттєво зросла в 4 рази і залишалася на цьому рівні аж до кінця всієї прогулянки. З якою середньою швидкістю (в милях за годину) здійснив свою прогулянку барон Мюнхгаузен того дня?
  3. Чи може квадратне рівняння х2 + pх + q= 0 мати цілі корені, якщо обидва його коефіцієнти p і q — непарні числа?
  4. Доведіть, що з точки перетину бісектрис трикутника кожну його сторону видно під тупим кутом.
  5. Ви знаєте, що хорда, яка перпендикулярна до діаметра, ділиться точкою перетину М з ним навпіл. А чи зможете ви довести, що ця хорда — найменша з усіх, які проходять через точку М?

 

9 клас

  1. Якось дядько Петро зауважив, що приміський дизель-потяг проходить повз нього за 10 секунд. Іншого разу, вертаючись від кума Степана, який живе на Гірці, він зауважив, що той самий потяг повз огорожу його обійстя, яка паралельна колії і має добрих 100 м завдовжки, проходить за 20 секунд. «Гм, за цими даними можна знайти довжину потяга і його швидкість», — подумав дядько Петро. Чи мав він рацію?
  2. Чи правда, що з вершини гори Ельбрус, висота якої над рівнем моря становить 5642 м, у сонячну погоду можна побачити Чорне море, відстань до якого від підніжжя гори дорівнює приблизно 200 км?
  3. Коефіцієнти а, b, с рівняння ах2 + bх + с = 0 — цілі числа. Доведіть, що при жодних значеннях цих коефіцієнтів числа а + b і а – с  не можуть одночасно бути коренями цього рівняння.
  4. Всередині гострого кута задано точку А. Чи зможете ви вказати спосіб побудови такого відрізка, який проходить через точку А і ділиться нею навпіл, якщо  кінці відрізка мають лежати на сторонах заданого кута?
    Підказка.  Ви добре знаєте, що в паралелограмі діагоналі точкою перетину діляться навпіл.
  5. Доведіть, що в жодному прямокутному трикутнику куб гіпотенузи не може дорівнювати сумі кубів катетів.
  6. На площині задано три точки А, В, С, які не лежать на одній прямій. Чи завжди можна провести у цій площині таку пряму, щоб задані точки знаходилися на рівних відстанях від неї? Якщо так, то як це зробити і скільки всього таких прямих існує?

 

10 клас

  1. Задано дві мимобіжні прямі. Доведіть, що існує рівно дві паралельні площини, кожна з яких проходить через одну пряму і паралельна іншій.
  2. Задано прямокутник. Як побудувати квадрат, який має ту саму площу, що й цей прямокутник?
  3. Знайдіть усі прості трицифрові числа, в яких цифри (в порядку написання) утворюють геометричну прогресію.
  4. У просторі задано чотири точки A, B, C, D, які не лежать в одній площині. Один з учнів ЗЗМШ строго довів, що існує рівно сім площин, від кожної з яких ці точки знаходяться на рівних відстанях. Чи зможете ви підтвердити цей висновок власними міркуваннями?
  5. Експедиція прибульців вирішила залишити на Землі пам'ять про себе у вигляді гігантського дротяного кільця, яке щільно обперізує її уздовж екватора. На це, як і передбачалося, пішло 40 000 000 м дроту. Щойно зібралися спаяти останній стик і провести завершальний ритуал, як до лінії екватора підійшов табун слонів. «Цікаво, а якою найменшою кількістю дроту слід було б доточити це кільце, аби під ним вільно пройшли ці створіння?  —  запитав один із прибульців, очевидно, виконроб.  —  Гадаю, 1 м було б цілком достатньо». — «Навіщо так багато? — заперечив начальник експедиції. — Якщо кільце подовжити аж на 1 м, а потім відтягнути вгору як тятиву лука, то крізь утворену під ним щілину зможе вільно пройти не тільки слон, а й динозавр, якби ці потвори ще водилися», — відповів начальник. Доведіть, що він мав рацію.
  6. Визначте всі цілі значення n, при яких значення функції  f(n) = |n2 – 7n + 10| є простими числами.

 

Завдання підготував В.О. Тадеєв